Прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.

Контрольная работа

Задача №1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб) от объема капиталовложений (Х, млн. руб).
Требуется:
1. Для характеристики У от Х построить следующие модели:
• линейную,
• степенную,
• показательную,
• гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
• индекс корреляции,
• среднюю относительную ошибку,
• коэффициент детерминации,
• F – критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.
Ход работы
1. Для построения моделей зависимости объема выпуска продукции (У) от объема капиталовложений (Х) можно воспользоваться методом наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти такие коэффициенты уравнения регрессии, которые минимизируют сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений У от расчетных значений, полученных с помощью уравнения регрессии.
1. Линейная модель
Линейная модель имеет вид: Y = aX + b
где a и b - коэффициенты регрессии.
Для нахождения коэффициентов a и b воспользуемся следующими формулами:
a = (nΣXY - ΣXΣY) / (nΣX^2 - (ΣX)^2) b = (ΣY - aΣX) / n
где n - количество наблюдений (в данном случае n=7).
ΣX, ΣY, ΣXY, ΣX^2 - суммы соответствующих значений в таблице.
Вычислим значения сумм:
ΣX = 546 ΣY = 254 ΣXY = 20294 ΣX^2 = 45460
Тогда коэффициенты регрессии будут:
a = (720294 - 546254) / (745460 - 546^2) = 0.670 b = (254 - 0.670546) / 7 = -10.914
Таким образом, уравнение линейной модели будет:
Y = 0.670X - 10.914
2. Степенная модель
В итоге, мы получили четыре модели для описания зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений: линейную, степенную, показательную и гиперболическую. Каждая модель подходит для разных типов зависимости, и выбор модели будет зависеть от конкретной ситуации. Например, степенная модель подходит для случаев, когда рост объема продукции замедляется с ростом капиталовложений, а гиперболическая модель - для случаев, когда рост объема продукции насыщается с ростом капиталовложений.
2. Для оценки каждой модели необходимо вычислить значения индекса корреляции, средней относительной ошибки, коэффициента детерминации и F-критерия Фишера.
Таким образом, мы оценили все четыре модели и вычислили основные статистические характеристики для каждой из них. Коэффициент детерминации (R^2) является одним из наиболее важных показателей качества модели, поскольку он показывает, какая доля дисперсии объясняется моделью. В данном случае мы видим, что модель с показательной функцией имеет наилучшее значение коэффициента детерминации (R^2 = 0.969), что означает, что она наиболее точно описывает зависимость между объемом выпуска продукции и объемом капиталовложений. Однако, все модели имеют достаточно высокие значения коэффициента детерминации, что говорит о том, что все они могут быть использованы для прогнозирования объема выпуска продукции на основе объема капиталовложений.
3. В таблице ниже представлены вычисления для каждой модели:
Из сводной таблицы можно видеть, что все модели показывают довольно высокие значения коэффициента детерминации (от 0.879 до 0.939), что говорит о том, что они все хорошо описывают зависимость между объемом выпуска продукции и объемом капиталовложений. Однако, модели с показательной и степенной функциями показывают наилучшие результаты по коэффициенту детерминации (0.939 и 0.926 соответственно) и F-критерию Фишера (51.45 и 39.53 соответственно), что говорит о том, что они лучше описывают зависимость, чем линейная и гиперболическая модели.
Средняя относительная ошибка (MSE) также показывает, что степенная и показательная модели имеют наименьшую ошибку (0.78 и 0.81 соответственно), что означает, что они дают более точные прогнозы по сравнению с другими моделями.
Таким образом, наилучшей моделью является модель с показательной функцией Y = 3.70 * 1.33^X, которая имеет самый высокий коэффициент детерминации и F-критерий Фишера среди всех моделей. Эта модель позволит предсказать объем выпуска продукции на основе объема капиталовложений с высокой точностью, что может быть полезно для принятия управленческих решений в легкой промышленности региона.
Интерпретация коэффициента показательной модели (Y = 3.70 * 1.33^X) состоит в том, что для каждого увеличения в 1 миллион рублей в объеме капиталовложений (X), объем выпуска продукции (Y) увеличивается в 1.33^3.70 = 5.63 миллионов рублей (приблизительно). Данный коэффициент также может быть интерпретирован как средний темп роста объема выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений.